纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

  • 时间:
  • 浏览:0

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是并不是数学证明辦法 ,常用于证明命题(命题是对某个疑问的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了许多许多领域(比如数学分析)的基础,什么都有有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法并不是非常简单。可能性朋友你要证明某个命题对于自然数n都成立,没办法 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上方的三个小 步骤。它们实际上意味着着着着,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。假若,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,朋友确定 n的倒下会意味着着着n + 1的倒下,假若推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

朋友来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(并不是公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,时需算出1到5000的累加,要能回家。于是高斯想出了上方的辦法 。天才都在 被逼出来的么?)

朋友的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,假若命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没办法 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。假若,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

假若,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指三个小 计算机多多线程 运行调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多多线程 运行有三个小 要能达到的终止条件(base case)。比如下面的多多线程 运行,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多多线程 运行中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。你要得到f(n),时需计算f(n-1);你要f(n-1),时需计算f(n-2)……直到f(1)。可能性朋友可能性知道了f(1)的值,朋友就都时需填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多多线程 运行实现。使用递归设计多多线程 运行的然后,朋友设置base case,并假设朋友会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,朋友只关注初始和衔接,而不时需关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据形态学 实现的。正如朋友上方所说的,计算f(n),时需f(n-1);计算f(n-1),时需f(n-2)……。朋友在寻找到f(1)然后,会有许多空缺: f(n-1)的值哪些? f(n-2)的值是哪些? …… f(2)的值是哪些?f(1)的值是哪些? 朋友的第三个小 疑问是f(n)是哪些,结果,并不是疑问引出下三个小 疑问,再下三个小 疑问…… 每个疑问的解答都依赖于下三个小 疑问,直到朋友找到第三个小 都时需回答的疑问: f(1)的值是哪些?

朋友用栈来保存朋友在探索过程中的疑问。C语言中,函数的调用可能性是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,什么都有有很自然的,递归用栈来保存朋友的“疑问” 。

朋友假设栈向下增长。首先,朋友调用f(5000),没办法 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(5000)暂停执行,并记录当前的具体情况,比如n的值,当前执行到的位置。然后调用f(99),栈增加三个小 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

假若返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(5000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(5000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也都时需自行手动实现栈。然后 都时需得到更好的运行速率单位。

总结

数学归纳法

递归

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据形态学 ”系列。