JavaScript数据结构——图的实现

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  在计算机科学中,图是一种生活生活网络底部形态的抽象模型,它是一组由边连接的顶点组成。另另二个 图G = (V, E)由以下元素组成:

  • V:一组顶点
  • E:一组边,连接V中的顶点

  下图表示了另另二个 图的底部形态:

  在介绍怎么才能 才能 用JavaScript实现图完后 ,亲们先介绍所以和图相关的术语。

  如上图所示,由第一根边连接在共同的顶点称为相邻顶点,A和B是相邻顶点,A和D是相邻顶点,A和C是相邻顶点......A和E是不相邻顶点。另另二个 顶点的是其相邻顶点的数量,A和其它另另二个 顶点相连,所以A的度为3,E和其它另另二个 顶点相连,所以E的度为2......路径是一组相邻顶点的连续序列,如上图含高 晒 路径ABEI、路径ACDG、路径ABE、路径ACDH等。简单路径要求路径中不含高 晒 重复的顶点,原困 将的最后另另二个 顶点添加,它也是另另二个 简单路径。例如 路径ADCA是另另二个 环,它不会另另二个 简单路径,原困 将路径中的最后另另二个 顶点A添加,那末 它所以我另另二个 简单路径。原困 图中不指在环,则称该图是无环的。原困 图中任何另另二个 顶点间都指在路径,则该图是连通的,如上图所以我另另二个 连通图。原困 图的边那末 方向,则该图是无向图,上图所示为无向图,反之则称为有向图,下图所示为有向图:

  在有向图中,原困 另另二个 顶点间在双向上都指在路径,则称这另另二个 顶点是强连通的,如上图中C和D是强连通的,而A和B是非强连通的。原困 有向图中的任何另另二个 顶点间在双向上都指在路径,则该有向图是强连通的,非强连通的图也称为稀疏图

  此外,图还可不可不可以是加权的。前面亲们想看 的图不会未加权的,下图为另另二个 加权的图:

  可不可不可以想象一下,前面亲们介绍的树和链表也属于图的一种生活生活特殊形式。图在计算机科学中的应用十分广泛,例如 亲们可不可不可以搜索图中的另另二个 特定顶点或第一根特定的边,原困 寻找另另二个 顶点间的路径以及最短路径,检测图含高 无指在环等等。

  指在多种不同的最好的措施来实现图的数据底部形态,下面介绍几种常用的最好的措施。

邻接矩阵

  在邻接矩阵中,亲们用另另二个 二维数组来表示图中顶点之间的连接,原困 另另二个 顶点之间指在连接,则这另另二个 顶点对应的二维数组下标的元素的值为1,而且为0。下图是用邻接矩阵最好的措施表示的图:

  原困 是加权的图,亲们可不可不可以将邻接矩阵中二维数组里的值1改成对应的加权数。邻接矩阵最好的措施指在另另二个 缺点,原困 图是非强连通的,则二维数组中会有所以的0,这表示亲们使用了所以的存储空间来表示根本不指在的边。所以我 缺点所以我当图的顶点指在改变时,对于二维数组的修改会变得不太灵活。

邻接表

  图的另外一种生活生活实现最好的措施是邻接表,它是对邻接矩阵的一种生活生活改进。邻接表由图中每个顶点的相邻顶点列表所组成。如下图所示,亲们可不可不可以用数组、链表、字典或散列表来表示邻接表。

关联矩阵

  亲们还可不可不可以用关联矩阵来表示图。在关联矩阵中,矩阵的行表示顶点,列表示边。关联矩阵通常用于边的数量比顶点多的状态下,以节省存储空间。如下图所示为关联矩阵最好的措施表示的图:

  下面亲们重点看下怎么才能 才能 用邻接表的最好的措施表示图。亲们的Graph类的骨架如下,它用邻接表最好的措施来实现无向图:

class Graph {
    constructor () {
        this.vertices = []; // 用来存放图中的顶点
        this.adjList = new Dictionary(); // 用来存放图中的边
    }

    // 向图中添加另另二个


新顶点
    addVertex (v) {}

    // 向图中添加a和b另另二个


顶点之间的边
    addEdge (a, b) {}
}

  在Graph类中,亲们用数组vertices来保存图中的所有顶点,用字典(请参考《JavaScript数据底部形态——字典和散列表的实现》一文中的Dictionary类)adjList来保存图中每另另二个 顶点到相邻顶点的关系列表,在字典中,顶点被作为键值。请参考前面亲们给出的邻接表的示意图。而且在Graph类中,亲们提供另另二个 最好的措施,最好的措施addVertex()用来向图中添加另另二个 新顶点,最好的措施addEdge()用来向图中添加给定的顶点a和顶点b之间的边。我要们来看下这另另二个 最好的措施的实现。

addVertex (v) {
    if (!this.vertices.includes(v)) {
        this.vertices.push(v);
        this.adjList.set(v, []);
    }
}

  要添加另另二个 新顶点,首真难判断该顶点在图含高 无原困 指在了,原困 原困 指在则不可不可不可以添加。原困 不指在,就在vertices数组中添加另另二个 新元素,而且在字典adjList中添加另另二个 以该顶点作为key的新元素,值为空数组。

addEdge (a, b) {
    // 原困

图中那末

顶点a,先添加顶点a
    if (!this.adjList.has(a)) {
        this.addVertex(a);
    }
    // 原困

图中那末

顶点b,先添加顶点b
    if (!this.adjList.has(b)) {
        this.addVertex(b);
    }

    this.adjList.get(a).push(b); // 在顶点a中添加指向顶点b的边
    this.adjList.get(b).push(a); // 在顶点b中添加指向顶点a的边
}

  addEdge()最好的措施也很简单,首真难确保给定的另另二个 顶点a和b在图中需要指在,原困 不指在,则调用addVertex()最好的措施进行添加,而且分别在字典中找到键值为顶点a和键值为顶点b的元素,在对应的值中添加另另二个 新元素。

  下面是Graph类的完整性代码,其中的toString()最好的措施是为了亲们测试用的,它的指在不会需要的。

  对于本文一后后开始了了英文给出的图,亲们添加下面的测试用例:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'B');
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('C', 'D');
graph.addEdge('C', 'G');
graph.addEdge('D', 'G');
graph.addEdge('D', 'H');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('B', 'F');
graph.addEdge('E', 'I');

console.log(graph.toString());

  下面是测试结果:

A -> B C D 
B -> A E F 
C -> A D G 
D -> A C G H 
E -> B I 
F -> B 
G -> C D 
H -> D 
I -> E 

  可不可不可以想看 ,与示意图是相符合的。

  和树例如 ,亲们也可不可不可以对图进行遍历,以访问图中的所有顶点。图的遍历最好的措施分为一种生活生活:广度优先(Breadth-First Search,BFS)和深度1优先(Depth-First Search,DFS)。对图的遍历可不可不可以用来寻找特定的顶点或另另二个 顶点之间的最短路径,以及检查图与非 连通、图含高 无含高 环等。

  在接下来要实现的算法中,亲们按照如下的约定对图中的顶点进行遍历,每个顶点最多访问两次:

  • 白色:表示该顶点未被访问。
  • 灰色:表示该顶点被访问过,但未被探索。
  • 黑色:表示该顶点被访问而且被探索过。

广度优先

  广度优先算法会从指定的第另另二个 顶点后后开始了了英文遍历图,先访问你这名顶点的所有相邻顶点,而且再访问那些相邻顶点的相邻顶点,以此类推。最终,广度优先算法会先广后深地访问图中的所有顶点。下面是广度优先遍历的示意图:

  原困 亲们采用邻接表的最好的措施来存储图的数据,对于图的每个顶点,不会另另二个 字典与之对应,字典的键值为顶点的值,字典的内容为与该顶点相邻的顶点列表。基于你这名数据底部形态,亲们可不可不可以考虑将所有顶点的邻接顶点存入队列,而且依次避免队列中的顶点。下面是具体的遍历步骤:

  1. 将后后开始了了英文顶点存入队列。
  2. 遍历后后开始了了英文顶点的所有邻接顶点,原困 那些邻接顶点那末 被访问过(颜色为白色),则将它们标记为被访问(颜色为灰色),而且加入队列。
  3. 将后后开始了了英文顶点标记为被避免(颜色为黑色)。
  4. 循环避免队列中的顶点,直到队列为空。

  下面是该算法的具体实现:

let Colors = {
    WHITE: 0,
    GREY: 1,
    BLACK: 2
};

let initializeColor = vertices => {
    let color = {};
    vertices.forEach(v => color[v] = Colors.WHITE);
    return color;
};

let breadthFirstSearch = (graph, startVertex, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();

    queue.enqueue(startVertex);

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
        if (callback) callback(u);
    }
};

  breadthFirstSearch()最好的措施接收另另二个 graph对象,图的数据通过该对象传入。参数startVertex指定了遍历的起始顶点。回调函数callback规定了要怎么才能 才能 避免被遍历到的顶点。

  首先通过initializeColor()函数将所有的顶点标记为未被访问过(颜色为白色),那些颜色保指在以顶点值为key的color对象中。图的vertices和adjList属性可不可不可以通过getVertices()和getAdjList()最好的措施得到,而且构造另另二个 队列queue(有关队列类Queue请参考《JavaScript数据底部形态——队列的实现与应用》),按照上边描述的步骤对图的顶点进行遍历。

  在前面亲们给出的测试用例的基础上,添加下面的代码,来看看breadthFirstSearch()最好的措施的执行结果:

breadthFirstSearch(graph, 'A', value => console.log(`visited vertex: ${value}`));

  参数graph为前面测试用例中Graph类的实例,也所以我亲们用来保存图的数据的对象,'A'被作为遍历的起始顶点,在回调函数中,打印一行文本,用来展示顶点被遍历的顺序。下面是测试结果:

visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: E
visited vertex: F
visited vertex: G
visited vertex: H
visited vertex: I

  尝试将'I'作为起始顶点,看看执行结果:

visited vertex: I
visited vertex: E
visited vertex: B
visited vertex: A
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了方便理解,亲们将顶点I装进去最上边。从顶点I后后开始了了英文,首先遍历到的是它的相邻顶点E,而且是E的相邻顶点B,其次是B的相邻顶点A和F,A的相邻顶点C和D,C的相邻顶点G(D原困 被遍历过了),最后是D的相邻顶点H(C和G原困 被遍历过了)。

寻找最短路径

  前面展示了广度优先算法的工作原理,亲们可不可不可以使用它做更多的事情,例如 在另另二个 图G中,从顶点v后后开始了了英文到其它所有顶点间的最短距离。亲们考虑一下怎么才能 才能 用BFS来实现寻找最短路径。

  假设另另二个 相邻顶点间的距离为1,从顶点v后后开始了了英文,在其路径上每经过另另二个 顶点,距离加1。下面是对breadthFirstSearch()最好的措施的改进,用来返回从起始顶点后后开始了了英文到其它所有顶点间的距离,以及所有顶点的前置顶点。

let BFS = (graph, startVertex) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let queue = new Queue();
    let distances = {};
    let predecessors = {};

    queue.enqueue(startVertex);

    // 初始化所有顶点的距离为0,前置节点为null
    vertices.forEach(v => {
        distances[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    while (!queue.isEmpty()) {
        let u = queue.dequeue();
        adjList.get(u).forEach(n => {
            if (color[n] === Colors.WHITE) {
                color[n] = Colors.GREY;
                distances[n] = distances[u] + 1;
                predecessors[n] = u;
                queue.enqueue(n);
            }
        });


        color[u] = Colors.BLACK;
    }

    return {distances, predecessors};
};

  在BFS()最好的措施中,亲们定义了另另二个 对象distances和predecessors,用来保存从起始顶点出发到其它所有顶点的距离以及那些顶点的前置顶点。BFS()最好的措施需要callback回调函数,原困 它会自行输出最终结果。与breadthFirstSearch()最好的措施的逻辑例如 ,只不过在后后开始了了英文的完后 将所有顶点的距离初始化为0,前置顶点初始化为null,而且在遍历的过程中,重新设置顶点的distances值和predecessors值。亲们仍然将顶点A作为起始顶点,来看看测试结果:

console.log(BFS(graph, 'A'));
{
  distances: { A: 0, B: 1, C: 1, D: 1, E: 2, F: 2, G: 2, H: 2, I: 3 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'A',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'C',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  如你所见,distances为从顶点A后后开始了了英文到其它所有顶点的最短距离(相邻顶点间的距离为1),predecessors记录了所有顶点的前置顶点。以BFS()最好的措施的返回结果为基础,通过下面的代码,亲们可不可不可以得出从顶点A后后开始了了英文到其它所有顶点的最短路径:

let shortestPathA = BFS(graph, 'A');
let startVertex = 'A';
myVertices.forEach(v => {
    let path = new Stack();
    for (let v2 = v; v2 !== startVertex; v2 = shortestPathA.predecessors[v2]) {
        path.push(v2);
    }

    path.push(startVertex);
    let s = path.pop();
    while (!path.isEmpty()) {
        s += ` - ${path.pop()}`;
    }

    console.log(s);
});

  其中的Stack类可不可不可以参考《JavaScript数据底部形态——栈的实现与应用》。下面是对应的执行结果:

A
A - B
A - C
A - D
A - B - E
A - B - F
A - C - G
A - D - H
A - B - E - I

   以上亲们说的不会未加权的图,对于加权的图,广度优先算法并不会最大约 的。下面给出了另外几种最短路径算法:

Dijkstra - 寻找从指定顶点到其它所有顶点的最短路径的贪心算法。

Floyd-Warshall - 计算图中所有最短路径的动态规划算法。

Kruskal - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

Prime - 求解加权无向连通图的最小生成树(MST)的贪心算法。

深度1优先

  深度1优先算法从图的第另另二个 顶点后后开始了了英文,沿着你这名顶点的第一根路径递归查找到最后另另二个 顶点,而且返回并探查路径上的其它路径,直到所有路径都被访问到。最终,深度1优先算法会先深后广地访问图中的所有顶点。下面是深度1优先遍历的示意图:

  亲们仍然采用和广度优先算法一样的思路,一后后开始了了英文将所有的顶点初始化为白色,而且沿着路径递归探查其余顶点,当顶点被访问过,将颜色改为灰色,原困 顶点被探索过(避免过),则将颜色改为黑色。下面是深度1优先算法的具体实现:

let depthFirstSearchVisit = (u, color, adjList, callback) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    if (callback) callback(u);

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(n, color, adjList, callback);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
};

let depthFirstSearch = (graph, callback) => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            depthFirstSearchVisit(v, color, adjList, callback);
        }
    });
};

  具体执行步骤为:

  1. 将图中所有顶点的颜色初始化为白色。
  2. 遍历顶点,此时A作为第另另二个 顶点,它的颜色为白色,于是调用函数depthFirstSearchVisit(),并将顶点A、color、graph.adjList作为参数传入。
  3. 在depthFirstSearchVisit()函数內部,原困 顶点A被访问过了,所以将颜色设置为灰色,并执行callback回调函数(原困 指在),而且遍历A的邻接顶点B、C、D。
  4. B未被访问过,颜色为白色,所以将B作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。B设置为灰色,callback('B')。遍历B的邻接节点E和F。
  5. E未被访问过,颜色为白色,所以将E作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。E设置为灰色,callback('E')。遍历E的邻接节点I。
  6. I未被访问过,颜色为白色,所以将I作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。I设置为灰色,callback('I')。I那末 邻接节点,而且将I设置为黑色。递归返回到5。
  7. E那末 其它邻接节点,将E设置为黑色。递归返回到4。
  8. 遍历B的所以我 邻接节点F,F未被访问过,颜色为白色,所以将F作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。F设置为灰色,callback('F')。F那末 邻接节点,而且将F设置为黑色。递归返回到4。
  9. B的所有邻接节点都被访问过了,将B设置为黑色。递归返回到3。
  10. 访问A的第十个 邻接节点C,C未被访问过,颜色为白色,所以将C作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。C设置为灰色,callback('C')。遍历C的邻接节点D、G。
  11. D未被访问过,颜色为白色,所以将D作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。D设置为灰色,callback('D')。遍历D的邻接节点G和H。
  12. G未被访问过,颜色为白色,所以将G作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。G设置为灰色,callback('G')。G那末 邻接节点,而且将G设置为黑色。递归返回到11。
  13. 遍历D的所以我 邻接节点H,H未被访问过,颜色为白色,所以将H作为参数递归调用depthFirstSearchVisit()函数。H设置为灰色,callback('H')。H那末 邻接节点,而且将H设置为黑色。递归返回到11。
  14. D的所有邻接节点都被访问过了,将D设置为黑色。递归返回到10。
  15. 遍历C的所以我 邻接节点G,原困 G原困 被访问过,对C的邻接节点的遍历后后开始了了英文。将C设置为黑色。递归返回到3。
  16. 访问A的最后另另二个 邻接节点D,原困 D原困 被访问过,对A的邻接节点的遍历后后开始了了英文。将A设置为黑色。
  17. 而且对剩余的节点进行遍历。原困 剩余的节点都被设置为黑色了,所以多多线程 后后开始了了英文。

  对应的测试用例及执行结果如下:

depthFirstSearch(graph, value => console.log(`visited vertex: ${value}`));
visited vertex: A
visited vertex: B
visited vertex: E
visited vertex: I
visited vertex: F
visited vertex: C
visited vertex: D
visited vertex: G
visited vertex: H

  为了便于理解,亲们将整个遍历过程用下面的示意图来展示:

  前面说过,深度1优先算法的数据底部形态是栈,然而这里亲们并那末 使用栈来存储任何数据,所以我使用了函数的递归调用,我我确实递归也是栈的一种生活生活表现形式。另外所以,原困 图是连通的(即图中任何另另二个 顶点之间都指在路径),亲们可不可不可以对上述代码中的depthFirstSearch()最好的措施进行改进,只需要对图的起始顶点后后开始了了英文遍历一次就可不可不可以了,而需要遍历图的所有顶点,原困 从起始顶点后后开始了了英文的递归就可不可不可以覆盖图的所有顶点。

拓扑排序

  前面展示了深度1优先算法的工作原理,亲们可不可不可以使用它做更多的事情,例如 拓扑排序(toplogical sorting,也叫做topsort原困 toposort)。与广度优先算法例如 ,亲们也对上边的depthFirstSeach()最好的措施进行改进,以说明怎么才能 才能 使用深度1优先算法来实现拓扑排序:

let DFSVisit = (u, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList) => {
    color[u] = Colors.GREY;
    discovery[u] = ++time.count;

    adjList.get(u).forEach(n => {
        if (color[n] === Colors.WHITE) {
            predecessors[n] = u;
            DFSVisit(n, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    color[u] = Colors.BLACK;
    finished[u] = ++time.count;
};

let DFS = graph => {
    let vertices = graph.getVertices();
    let adjList = graph.getAdjList();
    let color = initializeColor(vertices);
    let discovery = {};
    let finished = {};
    let predecessors = {};
    let time = { count: 0 };

    vertices.forEach(v => {
        finished[v] = 0;
        discovery[v] = 0;
        predecessors[v] = null;
    });

    vertices.forEach(v => {
        if (color[v] === Colors.WHITE) {
            DFSVisit(v, color, discovery, finished, predecessors, time, adjList);
        }
    });

    return {discovery, finished, predecessors};
};

  DFS()最好的措施会输出图中每个顶点的发现时间和探索时间,亲们假定时间从0后后开始了了英文,每经过一步时间值加1。在DFS()最好的措施中,亲们用变量discovery,finished,predecessors来保存每个顶点的发现时间、探索时间和前置顶点(你这名和广度优先算法中寻找最短路径中的一致,但最终执行结果会有区别),最终的输出结果中也会反映这另另二个 值。这里需要注意的是,变量time确实被定义为对象而不会另另二个 普通的数字,原困 亲们需要在函数间传递你这名变量,原困 所以我作为值传递,函数內部对变量的修改我不要 影响到它的原始值,而且亲们所以我需要在函数递归调用的过程中不断记录time的变化过程,所以采用值传递的最好的措施显然不行。而且亲们将time定义为另另二个 对象,对象被作为引用传递给函数,所以我 在函数內部对它的修改就会反映到原始值上。

  来看看对DFS()最好的措施的测试结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 2, C: 10, D: 11, E: 3, F: 7, G: 12, H: 14, I: 4 },
  finished: { A: 18, B: 9, C: 17, D: 16, E: 6, F: 8, G: 13, H: 15, I: 5 },
  predecessors: {
    A: null,
    B: 'A',
    C: 'A',
    D: 'C',
    E: 'B',
    F: 'B',
    G: 'D',
    H: 'D',
    I: 'E'
  }
}

  亲们将结果反映到示意图上,所以我 更加直观:

  示意图上每另另二个 顶点左边的数字是顶点的发现时间,右边的数字是顶点的探索时间,完整性完成时间是18,可不可不可以结合前面的深度1优先算法遍历过程示意图来看,它们是对应的。共同亲们也想看 ,深度1优先算法的predecessors和广度优先算法的predecessors会有所不同。

  拓扑排序不可不可不可以应用于有向无环图(DAG)。基于上边DFS()最好的措施的返回结果,亲们可不可不可以对顶点的完成时间(探索时间finished)进行排序,以得到亲们需要的拓扑排序结果。

  原困 要实现有向图,只需要对前面亲们实现的Graph类的addEdge()最好的措施略加修改,将最后一行删掉。当然,亲们也可不可不可以在Graph类的构造函数中指明是有向图还是无向图,下面是改进后的Graph类:

  而且亲们对有向图应用DFS算法:

let graph = new Graph();
let myVertices = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'];
myVertices.forEach((v) => {
    graph.addVertex(v);
});
graph.addEdge('A', 'C');
graph.addEdge('A', 'D');
graph.addEdge('B', 'D');
graph.addEdge('B', 'E');
graph.addEdge('C', 'F');
graph.addEdge('F', 'E');
console.log(DFS(graph));

  下面是返回结果:

{
  discovery: { A: 1, B: 11, C: 2, D: 8, E: 4, F: 3 },
  finished: { A: 10, B: 12, C: 7, D: 9, E: 5, F: 6 },
  predecessors: { A: null, B: null, C: 'A', D: 'A', E: 'F', F: 'C' }
}

  示意图如下:

  对顶点的完成时间进行倒序排序,得到的拓扑排序结果为:B - A - D - C - F - E。

  下一章亲们将介绍怎么才能 才能 用JavaScript来实现各种常见的排序算法。